Ch.6 자금 및 리스크 관리

모든 트레이딩 전략은 이따금 손실을 겪는다. 기술적으로는 낙폭이라고 한다. 낙폭은 몇 분에서 몇 년까지 지속될 수 있다. 퀀트 트레이딩 비즈니스에서 수익을 내려면 낙폭을 감내할 수 있는 수준으로 제한하면서도 자기자본의 최적 레버리지를 활용해서 부의 최대 성장을 달성할 수 있도록 리스크를 관리하는 것이 필수적이다. 전략이 여러 개라면 전체 위험 조정 수익을 극대화할 수 있도록 전략들 간에 자본을 최적으로 배분하는 방법도 찾아야 한다.

최적 자본 배분과 최적 레버리지—리스크 관리와 최대 성장 사이의 균형을 맞추는—가 이 챕터의 주제이며, 핵심 도구는 **켈리 공식(Kelly formula)**이다.

최적 자본 배분과 레버리지

각각 고유한 기대 수익과 표준편차를 가진 여러 전략을 거래할 계획이라고 가정하자. 어떻게 최적으로 자본을 배분해야 할까? 또한 전체 레버리지(계좌 자기자본 대비 포트폴리오 규모의 비율)는 얼마여야 할까?

서문에서 언급한 Dr. Edward Thorp는 이 주제에 관한 뛰어난 해설 논문을 발표했으며(Thorp, 1997), 이 챕터에서는 그의 논의를 가깝게 따른다. (Thorp의 논의는 증권 포트폴리오를 중심으로 하고, 저자의 논의는 전략 포트폴리오를 중심으로 하지만 수학은 거의 동일하다.)

모든 최적화 문제는 목적함수로 시작한다. 여기서 목적은 장기 부를 극대화하는 것이다—개인 투자자에게 논란의 여지가 없는 목적이다. 장기 부를 극대화하는 것은 포트폴리오의 장기 복리 성장률 g를 극대화하는 것과 동치다. 이 목적은 파산(즉, 손실로 인해 자기자본이 0으로 가는 것)을 반드시 피해야 함을 암묵적으로 의미한다. 어느 시점에서 0이 아닌 확률로 파산에 도달할 수 있다면, 장기 부는 확실히 0이고 장기 복리 성장률도 마찬가지다.

(이 모든 논의에서, 모든 거래 이익을 재투자한다고 가정한다. 따라서 중요한 것은 레버리지된 복리 성장률이다.)

한 가지 근사는 각 트레이딩 전략 i의 수익률 확률 분포가 고정 평균 $m_i$와 표준편차 $s_i$를 가진 **가우시안(정규분포)**이라는 것이다. (수익률은 모든 자금 조달 비용을 차감한 것이어야 한다. 즉, 초과 수익률이어야 한다.) 이것은 금융에서 흔한 근사이지만 꽤 부정확할 수 있다. 실제 금융 시장의 큰 손실은 가우시안 확률 분포가 허용하는 것보다 훨씬 높은 빈도로(또는 훨씬 큰 규모로) 발생한다. 그러나 모든 과학적·공학적 시도는 가장 단순한 모델에서 시작하며 금융도 예외가 아니다. 이 부정확성에 대한 해결책은 챕터 후반부에서 논의한다.

n개 전략 각각에 자기자본의 최적 비율을 열 벡터 $F^* = (f_1^, f_2^, \ldots, f_n^*)^T$로 표기한다.

최적화 목적과 가우시안 가정 아래, Thorp는 최적 배분이 다음으로 주어짐을 증명했다:

$$F^* = C^{-1}M$$

여기서 $C$는 공분산 행렬로, 행렬 원소 $C_{ij}$는 전략 i와 j의 수익률 공분산이고, $-1$은 역행렬을 나타낸다. $M = (m_1, m_2, \ldots, m_n)^T$는 전략들의 평균 수익률 열 벡터다. 이 수익률은 1기간, 단순(비복리), 비레버리지 수익률임을 유의하라. 예를 들어, 전략이 주식 A를 1달러 롱하고 주식 B를 1달러 숏해서 한 기간에 0.10달러 이익을 냈다면, 계좌의 자기자본이 얼마이든 관계없이 m은 0.05다.

전략들이 통계적으로 독립이라고 가정하면 공분산 행렬은 대각 행렬이 되고, 대각 원소는 개별 전략의 분산과 같아진다. 이 경우 특히 단순한 공식이 나온다:

$$f_i = m_i / s_i^2$$

이것이 바로 유명한 켈리 공식이다(이 공식을 둘러싼 많은 흥미로운 이야기는 예를 들어 Poundstone, 2005 참조). 이산 결과를 가진 도박에 적용된 연속 금융 버전이며, 특정 트레이딩 전략에 적용해야 할 최적 레버리지를 알려준다.

켈리 공식의 간단한 유도는 챕터 끝 부록(단일 전략 케이스)에 있으니 관심 있는 독자들은 참고하라.

예시 6.1: 흥미로운 퍼즐 (또는 왜 위험은 해로운가)

많은 전문 트레이더를 당혹스럽게 할 수 있는 작은 퍼즐이 있다. 어떤 주식이 진정한 (기하적) 랜덤 워크를 한다고 가정하자. 즉, 매 분마다 50-50 확률로 1% 오르거나 1% 내린다는 의미다. 이 주식을 산다면, 자금 조달 비용을 무시하고 장기적으로 돈을 벌까, 잃을까, 아니면 본전일까?

대부분의 트레이더는 “본전!”이라고 즉답할 것이다. 그 답은 틀렸다. 정답은 매 분마다 0.005%(즉, 0.5 베이시스 포인트)의 속도로 돈을 잃는다는 것이다!

이는 기하적 랜덤 워크에서 평균 복리 수익률이 단기(또는 1기간) 수익률 m(여기서는 0)이 아니라 $g = m - s^2/2$이기 때문이다. 이것은 이 챕터 부록에 나오는 복리 성장에 관한 일반 공식 $g(f)$에서 레버리지 f를 1로, 무위험 금리 r을 0으로 설정하면 도출된다. 이는 또한 수의 집합의 기하 평균이 항상 산술 평균보다 작다는(수들이 동일한 경우에는 같다는) 사실과도 일치한다. 산술 평균 수익률이 0이라고 가정하면, 평균 복리 수익률을 나타내는 기하 평균은 음수여야 한다.

핵심 교훈: 위험은 항상 장기 성장률을 낮춘다—리스크 관리가 중요한 이유다!

이 예시는 저자의 블로그 글 “Maximizing Compounded Rate of Return”에서 수정 재현됨.

파라미터 추정의 불확실성과 수익률 분포가 실제로 가우시안이 아니라는 점 때문에, 트레이더들은 안전을 위해 권장 레버리지를 절반으로 줄이는 경우가 많다. 이를 “하프 켈리(half-Kelly)” 베팅이라고 한다.

리테일 계좌가 있다면 전체 레버리지 l이 오버나이트 포지션 보유 여부에 따라 2 또는 4로 제한된다. 이 경우 각 $f_i$를 동일한 비율 $l / (|f_1| + |f_2| + \cdots + |f_n|)$로 줄여야 한다. 여기서 $|f_1| + |f_2| + \cdots + |f_n|$은 포트폴리오의 총 제한 없는 레버리지다. 일부 개별 전략이 롱과 숏 포지션을 상쇄하는 포지션을 보유할 수 있어 이 공식이 제안하는 것보다 높은 레버리지를 허용하는 경우도 있지만, 여기서는 그 가능성을 무시한다.

이 자본 배분과 레버리지를 채택하면 자기자본의 장기 복리 성장률을 극대화할 수 있다고 했다. 그렇다면 이 최대 복리 성장률은 얼마일까? 다음과 같이 나온다:

$$g = r + S^2/2$$

여기서 S는 포트폴리오의 샤프 비율이다! 2장에서 언급했듯이, 포트폴리오(또는 전략)의 샤프 비율이 높을수록 켈리 공식이 권장하는 최적 레버리지를 사용하는 경우 자기자본(또는 부)의 최대 성장률이 높다.

예시 6.2: 켈리 공식 기반 최적 레버리지 계산

켈리 공식이 실제로 어떻게 작동하는지 예시를 보자. 포트폴리오가 S&P 500 지수를 추종하는 ETF인 SPY의 롱 포지션만으로 구성된다고 가정하자. SPY의 연환산 평균 수익률은 11.23%, 연환산 표준편차는 16.91%, 무위험 금리는 4%라고 하자. 따라서 포트폴리오의 연환산 평균 초과 수익률은 7.231%, 연환산 표준편차는 16.91%로 샤프 비율은 0.4275다. 켈리 공식에 따른 최적 레버리지는 $f = 0.07231 / 0.1691^2 = 2.528$이다.

(흥미로운 사실: 켈리 f는 시간 척도에 무관하다. 샤프 비율은 시간 척도에 따라 달라지는 것과 달리, 수익률과 표준편차를 연환산하든 아니든 실제로 상관없다.) 최종적으로 연환산 복리 레버리지 성장률은 자금 조달 비용을 포함해서 13.14%다.

Yahoo! Finance에서 SPY 일별 가격을 다운로드해서 스프레드시트로 다양한 수치를 계산해볼 수 있다. 2007년 12월 29일 기준으로 계산했으며 스프레드시트는 epchan.com/book/example6_2.xls에서 받을 수 있다.

켈리 레버리지 2.528은, 투자할 현금이 10만 달러 있고 기대 수익과 표준편차의 기댓값을 진정으로 믿는다면, $252,800 어치의 SPY를 사야 한다는 것을 의미한다. 또한 10만 달러 투자에 대해 연환산 복리 수익률 13.14%를 기대할 수 있다.

비교를 위해, 레버리지 없이 투자하면 복리 성장률이 얼마인지 보자(챕터 부록 공식 참조): $g = r + m - s^2/2 = 0.1123 - (0.1691)^2/2 = 9.8%$. 이것이 SPY를 현금으로만 매수했을 때의 장기 성장률이며, 연환산 평균 수익률 11.23%가 아님을 유의하라.

예시 6.3: 켈리 공식을 이용한 최적 배분 계산

3개의 섹터별 ETF를 선택해서 포트폴리오의 최대 성장률을 달성하기 위해 자본을 어떻게 배분해야 하는지 살펴보자. 3개의 ETF는 OIH(유전 서비스), RKH(지역 은행), RTH(소매)다. 일별 가격은 Yahoo! Finance에서 다운로드해서 OIH.xls, RKH.xls, RTH.xls로 저장했다. M, C, F* 를 계산하는 MATLAB 프로그램(epchan.com/book/example6_3.m)은 다음과 같다:
% 이전에 정의된 변수 지우기
clear;
% "OIH.xls" 스프레드시트를 MATLAB으로 읽어들이기
[num1, txt1]=xlsread('OIH');
% 첫 번째 열(2행부터)은 mm/dd/yyyy 형식의 거래일
tday1=txt1(2:end, 1);
tday1=datestr(datenum(tday1, 'mm/dd/yyyy'), 'yyyymmdd');
% 날짜 문자열을 셀 배열로 변환 후 숫자 형식으로
tday1=str2double(cellstr(tday1));
% 마지막 열은 수정 종가
adjcls1=num1(:, end);

% "RKH.xls" 스프레드시트를 MATLAB으로 읽어들이기
[num2, txt2]=xlsread('RKH');
tday2=txt2(2:end, 1);
tday2=datestr(datenum(tday2, 'mm/dd/yyyy'), 'yyyymmdd');
tday2=str2double(cellstr(tday2));
adjcls2=num2(:, end);

% "RTH.xls" 스프레드시트를 MATLAB으로 읽어들이기
[num3, txt3]=xlsread('RTH');
tday3=txt3(2:end, 1);
tday3=datestr(datenum(tday3, 'mm/dd/yyyy'), 'yyyymmdd');
tday3=str2double(cellstr(tday3));
adjcls3=num3(:, end);

% 데이터 병합
tday=union(tday1, tday2);
tday=union(tday, tday3);
adjcls=NaN(length(tday), 3);

[foo idx1 idx]=intersect(tday1, tday);
adjcls(idx, 1)=adjcls1(idx1);
[foo idx2 idx]=intersect(tday2, tday);
adjcls(idx, 2)=adjcls2(idx2);
[foo idx3 idx]=intersect(tday3, tday);
adjcls(idx, 3)=adjcls3(idx3);

ret=(adjcls-lag1(adjcls))./lag1(adjcls); % 수익률

% 하나라도 수익률이 없는 날 찾기
baddata=find(any(~isfinite(ret), 2));
% 하나라도 수익률이 없는 날 제거
ret(baddata,:)=[];
% 초과 수익률: 연환산 무위험 금리 4% 가정
excessRet=ret-repmat(0.04/252, size(ret));

% 연환산 평균 초과 수익률
M=252*mean(excessRet, 1)'  % M =
%      0.1396
%      0.0294
%     -0.0073

C=252*cov(excessRet)  % 연환산 공분산 행렬
% C =
%      0.1109    0.0200    0.0183
%      0.0200    0.0372    0.0269
%      0.0183    0.0269    0.0420

F=inv(C)*M  % 켈리 최적 레버리지
% F =
%      1.2919
%      1.1723
%     -1.4882
RTH의 평균 초과 수익률이 음수임을 주목하라. 따라서 켈리 공식이 RTH를 공매도하라고 권하는 것은 놀랍지 않다.

이 최적 배분으로 달성할 수 있는 샤프 비율과 최대 복리 성장률은 얼마일까? 다중전략 가우시안 프로세스의 최대 성장률은 다음과 같다:

$$g(F^) = r + {F^}^T C F^* / 2$$

샤프 비율은:

$$S = \sqrt{{F^}^T C F^}$$

이 두 값을 계산하는 MATLAB 코드:
% 최대 연환산 복리 성장률
g=0.04+F'*C*F/2  % g =
%      0.1529

S=sqrt(F'*C*F)  % 포트폴리오 샤프 비율
% S =
%      0.4751
포트폴리오의 복리 성장률이 15.29%로, 세 종목 중 개별적으로 달성 가능한 최대 성장률보다 높다. (연습으로, 세 종목 중 1기간 수익률이 가장 높은 OIH의 복리 성장률이 12.78%임을 확인해보라.)

켈리 공식을 따르려면 자기자본이 변할 때마다 자본 배분을 지속적으로 조정해서 최적 상태를 유지해야 한다. 예시 6.2(SPY)를 기준으로, 켈리 공식에 따라 레버리지 2.528배를 적용해서 $252,800 어치의 포트폴리오를 매입했다고 하자. 다음 날 재앙이 닥쳐 SPY에서 10%를 잃었다. 이제 포트폴리오는 $227,520으로, 자기자본은 $74,720밖에 안 된다. 어떻게 해야 할까? 켈리 기준에 따르면 즉시 포트폴리오를 $188,892로 줄여야 한다. 이유는? 현재 자기자본 $74,720에 최적 레버리지 2.528을 곱하면 $188,892이기 때문이다.

실용적인 절차로서, 이 자본 배분 업데이트는 최소한 매 거래일 말에 한 번씩 이루어져야 한다. 자본 배분을 업데이트하는 것 외에, 최근 후행 평균 수익률과 표준편차를 재계산해서 주기적으로 $F^$ 자체도 업데이트해야 한다. 룩백 기간은 얼마로, 얼마나 자주 업데이트해야 할까? 이는 전략의 평균 보유 기간에 달려 있다. 하루 정도만 포지션을 보유한다면, 경험 법칙으로 6개월 룩백 기간을 사용할 것을 권한다. 비교적 짧은 룩백 기간을 사용하면 성과가 저하되고 있는 전략에 대한 노출을 점진적으로 줄일 수 있다는 장점이 있다. 업데이트 빈도에 대해서는, 프로그램을 작성해두면 $F^$를 매일 업데이트하는 것이 부담이 되지 않는다.

마지막으로 한 가지: 일부 전략은 매일 가변적인 수의 트레이딩 신호를 생성해서 가변적인 수의 포지션과 총 자본이 발생할 수 있다. 이런 경우 미리 자본을 알 수 없을 때 켈리 공식을 어떻게 사용해야 할까? 최대 포지션 수와 허용 최대 자본을 결정하는 데 켈리 공식을 여전히 사용할 수 있다. 켈리 공식이 권하는 레버리지보다 낮게 유지하는 것이 항상 더 안전하다.

리스크 관리

앞 섹션에서 켈리 공식이 자본의 최적 배분과 최적 레버리지 결정뿐 아니라 리스크 관리에도 유용하다는 것을 보았다. 실제로 SPY 예시(6.2)는 켈리 공식이 거래 손실 시 포트폴리오 규모를 줄이도록 지시한다는 것을 보여줬다. 이 손실 실현 매도는 리스크 관리 방식이 켈리 공식 기반이든 아니든 리스크 관리의 빈번한 결과다.

리스크 관리는 손실이 발생할 때마다 포지션 규모를 줄이도록 지시한다—그것이 그 손실을 실현하는 것을 의미하더라도. (동전의 다른 면으로는, 최적 레버리지는 전략이 이익을 낼 때 포지션 규모를 늘리라고 지시한다.) 이런 종류의 매도는 일부 분석가들이 하나의 대형 헤지펀드가 큰 손실을 겪을 때 동시에 많은 대형 헤지펀드에 영향을 미치는 **“금융 전염(financial contagion)“**의 원인이라고 믿는다.

이에 대한 사례가 2007년 여름 멜트다운으로, Amir Khandani와 Andrew Lo의 논문 “What Happened to the Quants in August 2007?”에서 설명된 사건이다. 2007년 8월, 주택·모기지 부도 위기의 암운 아래 여러 유명 헤지펀드가 전례 없는 손실을 경험했다. Goldman Sachs의 Global Alpha 펀드는 22.5% 하락했다. 역사상 가장 성공적인 퀀트 헤지펀드라고 할 수 있는 Renaissance Technologies Corporation도 8월 전반기에 8.7% 손실을 입었으나 이후 대부분 회복했다. 손실의 규모만이 아니라 그 광범위한 성격이 금융계에 큰 우려를 낳았다. 가장 이상한 점은, 이 펀드들 중 표면적으로 패닉의 근본 원인인 모기지 담보부 증권을 보유한 펀드가 거의 없었다는 것이다. 그래서 이 사건은 헤지펀드에 의해 전파된 금융 전염의 고전적 사례 연구가 됐다.

이런 전염은 한 헤지펀드의 큰 손실이 (그 손실의 원인이 된 포지션이든 아니든) 대규모 포지션을 청산하도록 만들기 때문에 발생한다. 이 매도는 해당 증권 가격을 하락(공매도 포지션의 경우 상승)시킨다. 다른 헤지펀드들이 유사한 포지션을 보유하고 있다면 그들도 큰 손실을 입게 되고, 이는 그들 자신의 리스크 관리 시스템이 자체 포지션을 청산하게 만들고, 이 과정이 계속된다. 예를 들어, 2007년 여름 한 대형 헤지펀드가 서브프라임 모기지 담보부 증권을 보유하다가 그 섹터에서 큰 손실을 입었을 수 있다. 그러면 리스크 관리는 포트폴리오 내 유동성 있는 주식 포지션—그 시점까지 서브프라임 사태와 무관했을 수도 있는—을 청산하도록 요구한다. 그 주식 포지션의 매도로 인해, 모기지 담보부 증권을 전혀 보유하지 않은 다른 통계적 차익거래 헤지펀드들도 이제 큰 손실을 입고 자신들의 주식을 매도하기 시작한다. 이렇게 연쇄 반응이 이어진다. 모기지 담보부 증권 시장의 매도가 갑자기 주식 시장의 매도로 번졌다 — *전염(contagion)*의 의미를 잘 보여주는 사례다.

손실을 실현해야 하는 필요성과 켈리 공식을 따르기 위해 포트폴리오를 지속적으로 리밸런싱해야 하는 규모·빈도를 고려하면, 대부분의 트레이더들이 하프 켈리 레버리지로 거래하기를 선호하는 것은 충분히 이해할 수 있다. 낮은 레버리지는 리스크 관리에 필요한 매도 규모를 줄여준다.

때로는 보수적인 하프 켈리 공식조차 너무 공격적일 수 있으며, 트레이더들은 추가 제약을 통해 포트폴리오 규모를 더 줄이고 싶을 수 있다. 이는 앞서 지적했듯이, 연속 금융에 켈리 공식을 적용하는 것이 수익률 분포가 가우시안이라는 가정에 기반하기 때문이다. (금융은 연속적이다 — 금융 시장에서 베팅의 결과는 이익과 손실의 연속체 위에 있으며, 결과가 이산적인 카드 게임과는 다르다.) 하지만 실제 수익률은 가우시안이 아니다: 큰 손실은 종 모양 정규분포 곡선이 예측하는 것보다 훨씬 높은 빈도로(또는 훨씬 큰 규모로) 발생한다. 일부에서는 수익률의 진짜 분포가 **“두꺼운 꼬리(fat tails)“**를 갖는다고 표현한다. 이는 평균에서 멀리 떨어진 사건의 발생 확률이 가우시안 종 모양 곡선이 허용하는 것보다 훨씬 높다는 의미다. 이처럼 매우 낮은 확률의 사건들을 저자 Nassim Taleb은 “블랙 스완(black swan)” 이벤트라고 불렀다(Taleb, 2007 참조).

가우시안 분포 밖의 극단적 사건을 다루기 위해, 간단한 백테스트 기법으로 역사적 최대 1기간 손실이 얼마였는지 대략 추정할 수 있다. (기간은 1주, 1일, 또는 1시간일 수 있다. 유일한 기준은, 매 기간 말에 켈리 공식에 따라 포트폴리오를 리밸런싱할 준비가 되어 있어야 한다는 것이다.) 또한 자기자본에서 기꺼이 감내할 수 있는 최대 1기간 낙폭이 얼마인지도 염두에 두어야 한다. 최대 허용 1기간 낙폭을 최대 역사적 손실로 나누면, 하프 켈리 레버리지가 자신에게 너무 큰지 알 수 있다. 사용할 레버리지는 항상 하프 켈리 레버리지와 최악의 역사적 손실을 기준으로 구한 최대 레버리지 중 작은 쪽이다. 이전 섹션의 S&P 500 지수 예시에서 최대 역사적 1일 손실은 약 20.47%로, 1987년 10월 19일 **“블랙 먼데이”**에 발생했다. 1일 낙폭을 20%만 감내할 수 있다면 적용 가능한 최대 레버리지는 약 1이다. 한편 하프 켈리가 권하는 레버리지는 1.26이다. 따라서 이 경우 하프 켈리 레버리지조차 블랙 먼데이를 버티기에 충분히 보수적이지 않다.

진정으로 무서운 리스크 관리 시나리오는 역사상 한 번도 발생한 적이 없는 사건이다. 철학자 루트비히 비트겐슈타인의 말을 빌리자면, “말할 수 없는 것에 대해서는 침묵해야 한다” — 이러한 알 수 없는 것들에 대해 이론적 모델도 마땅히 침묵한다.

사이드바: 스톱 로스는 좋은 리스크 관리 방법인가?

일부 트레이더들은 좋은 리스크 관리란 모든 거래에 스톱 로스를 부과하는 것이라고 믿는다 — 즉, 포지션이 일정 비율 손실을 내면 포지션을 청산한다는 것이다. 스톱 로스를 부과하면 포트폴리오가 재앙적 손실을 피할 수 있다는 믿음은 흔한 오류다. 재앙적 사건이 발생하면 증권 가격은 불연속적으로 하락하므로, 스톱 로스 주문은 사건 이전보다 훨씬 불리한 가격에 체결된다. 따라서 포지션을 청산함으로써 우리는 재앙적 손실을 피하는 것이 아니라 실현하고 있는 것이다.

스톱 로스가 유익하려면 모멘텀(추세 추종) 레짐에 있다고 믿어야 한다. 즉, 거래의 예상 수명 내에 가격이 더 나빠질 것이라고 믿어야 한다는 것이다. 그렇지 않고 그 수명 내에 시장이 평균 회귀한다면, 포지션을 너무 빨리 청산하지 않으면 결국 손실을 만회할 것이다.

물론 자신이 모멘텀 레짐(스톱 로스가 유익한 경우)에 있는지 평균 회귀 레짐(스톱 로스가 해로운 경우)에 있는지 구분하기는 쉽지 않다. 저자의 관찰로는, 가격 움직임이 뉴스나 기타 펀더멘털 이유(예: 회사 매출 악화)에 기인할 때 모멘텀 레짐일 가능성이 높으며, “화물 열차 앞에 서지 않아야” 한다. 예를 들어 펀더멘털 분석을 통해 어떤 회사가 현재 과대평가됐다고 드러났다면, 그 주가는 새로운 낮은 균형 가격에 도달하기 위해(최소한 시장 지수 대비) 점진적으로 하락할 것이다. 이 움직임은 회사의 펀더멘털이 변하지 않는 한 되돌릴 수 없다. 반면 명백한 뉴스나 이유 없이 증권 가격이 급격히 움직인다면 유동성 이벤트일 가능성이 높다 — 예를 들어, 주요 보유자들이 자신만의 이유로 갑자기 대규모 포지션을 청산해야 하거나, 주요 투기꾼들이 갑자기 숏 포지션을 커버하기로 결정한 경우다. 이런 유동성 이벤트는 지속 기간이 비교적 짧고 이전 가격 수준으로 평균 회귀할 가능성이 높다.

평균 회귀 전략 vs 모멘텀 전략의 적절한 청산 전략에 대해서는 챕터 7에서 더 자세히 논의한다.

포지션 리스크(시장 리스크와 특이 리스크 모두 포함) 외에도 고려해야 할 다른 형태의 리스크들이 있다: 모델 리스크, 소프트웨어 리스크, 자연재해 리스크 — 가능성이 높은 순서로.

모델 리스크는 단순히 거래 손실이 시장의 통계적 변동성 때문이 아니라 트레이딩 모델 자체가 잘못됐을 가능성을 말한다. 모델은 챕터 3에서 자세히 다룬 여러 이유로 잘못될 수 있다: 데이터 스누핑 편향, 생존 편향 등. 이 다양한 편향과 백테스트 프로그램의 오류를 제거하기 위해, 협력자나 컨설턴트가 백테스트 결과를 독립적으로 재현해서 그 타당성을 검증하도록 하는 것이 매우 도움이 된다. 결과를 재현해야 하는 이 필요성은 과학 연구에서는 일상적으로 행해지며 금융 연구에서도 마찬가지로 필수적이다.

모델 리스크는 모델이나 백테스팅 절차의 편향이나 오류에서 비롯될 수도 있지만, 동일한 전략을 실행하는 다른 기관 트레이더들과의 경쟁 심화, 또는 트레이딩 모델의 우위를 제거한 시장 구조의 근본적 변화에서 비롯될 수도 있다. 이것이 챕터 5에서 언급한 레짐 전환이다.

모델 리스크를 완화하기 위해 할 수 있는 일은 많지 않다. 다만 모델이 손실을 쌓아감에 따라 레버리지를 점진적으로 낮춰 결국 레버리지가 0이 될 때까지 낮추는 것이다. 후행 평균 수익률과 표준편차를 기반으로 켈리 공식에 따라 레버리지를 지속적으로 업데이트하면 체계적으로 달성할 수 있다. (룩백 기간에서 평균 수익률이 0으로 감소하면 켈리 레버리지도 0으로 떨어진다.) 이는 큰 낙폭으로 인해 갑자기 모델을 종료하는 것보다 바람직하다. (다음 섹션 “심리적 준비”에서 다루는, 모델을 조기에 종료하려는 심리적 압박 논의 참조.)

소프트웨어 리스크는 매일 거래를 생성하는 자동화 트레이딩 시스템이 백테스트 모델을 충실히 반영하지 않는 경우를 말한다. 어디에나 있는 소프트웨어 버그 때문에 발생한다. 이런 소프트웨어 오류를 제거하는 방법은 챕터 5에서 논의했다: 자동화 트레이딩 시스템이 생성한 거래를 백테스트 시스템이 생성한 이론적 거래와 비교해서 동일한지 확인해야 한다.

마지막으로, 물리적 또는 자연재해도 큰 손실을 야기할 수 있으며, 지진이나 쓰나미처럼 극적인 사건일 필요도 없다. 헤징 포지션을 입력하기 전에 인터넷 연결이 끊어진다면? 거래를 전송하는 도중 전력이 나간다면? 물리적 재해가 트레이딩에 주요 장애를 일으키지 않도록 하는 다양한 방법은 챕터 4의 물리적 인프라 섹션에 나와 있다.

심리적 준비

퀀트 트레이딩 책에 심리적 준비 섹션이 포함된다는 것이 이상하게 보일 수 있다. 결국 퀀트 트레이딩은 우리를 감정에서 해방시켜 컴퓨터가 규율 있게 모든 거래 결정을 내리게 하는 것이 아닌가? 그렇게 쉽다면 좋겠지만: 심리적으로 준비되지 않은 트레이더들은 자동화 트레이딩 시스템의 결정을 자주 무시하곤 한다 — 특히 비정상적인 이익이나 손실이 발생하는 포지션이나 날에. 따라서 퀀트 전략을 사용하더라도 자신의 심리적 약점을 이해하는 것이 중요하다.

다행히 비합리적인 금융 의사결정을 연구하는 “행동 금융학(behavioral finance)“(Thaler, 1994)이라는 금융 연구 분야가 있다. 트레이딩에 영향을 미치는 몇 가지 흔한 비합리적 행동을 소개한다.

첫 번째 행동 편향은 보유 효과(endowment effect), 현상 유지 편향(status quo bias), 또는 **손실 회피(loss aversion)**로 다양하게 불린다. 앞의 두 효과는 일부 트레이더들이 손실 포지션을 너무 오래 보유하게 만든다: 트레이더들(과 일반인들)은 현상 유지에 지나치게 높은 가중치를 두거나(현상 유지 편향), 주식을 취득하는 데 지불할 금액보다 포기하는 데 훨씬 더 많은 것을 요구한다(보유 효과). 리스크 관리 섹션에서 주장했듯이, 손실 포지션을 유지하는 합리적인 이유가 있다(예: 평균 회귀 행동을 기대할 때). 하지만 이러한 행동 편향들은 합리적인 이유가 없을 때도(예: 추세 행동을 기대하는데 그 추세가 포지션을 더 큰 손실로 이끌 것 같을 때) 트레이더들이 손실 포지션을 유지하게 만든다. 동시에 손실 회피 편향은 일부 트레이더들을 수익 포지션에서 너무 빨리 빠져나오게 만든다 — 더 오래 보유하면 평균적으로 더 큰 이익으로 이어질 수 있음에도. 왜 수익 포지션에서 그렇게 빨리 빠져나오는가? 현재 이익의 일부를 잃을 수 있다는 고통이 더 높은 이익을 얻는 기쁨보다 크기 때문이다.

이 행동 편향은 실수로 — 소프트웨어 버그, 운영 오류, 또는 데이터 문제 때문에 — 포지션에 진입해서 큰 손실을 입었을 때 가장 분명하고 가장 재앙적으로 나타난다. 합리적인 조치는 오류를 발견한 즉시 포지션을 청산하는 것이다. 하지만 트레이더들은 손실이 줄어들기를 기다리고 싶은 유혹을 자주 받는다. 이 포지션에 진입하기에 지금이 좋은 시점임을 시사하는 평균 회귀 모델이 없다면, 평균 회귀를 기다리는 것은 오히려 더 큰 손실로 이어질 가능성이 매우 높다.

저자가 직접 경험한 또 다른 흔한 편향은 **“대표성 편향(representativeness bias)“**이다 — 사람들은 최근 경험에 지나치게 높은 가중치를 두고 장기 평균을 과소평가하는 경향이 있다(Ritter, 2003). (이 참고 문헌은 행동 금융학에서 연구하는 다양한 편향에 대한 좋은 입문서다.) 큰 손실 후, 트레이더들 — 퀀트 트레이더들조차 — 은 수정된 시스템으로 거래했다면 큰 손실을 피할 수 있었을 것처럼 전략의 특정 파라미터를 즉각 수정하는 경향이 있다. 하지만 이 수정은 아직 발생하지 않은 다른 큰 손실을 초래하거나 존재했던 많은 이익 기회를 제거할 수 있기 때문에 현명하지 않다. 우리는 확률론적 환경에서 운영하고 있다는 것을 기억해야 한다: 어떤 시스템도 손실로 이어질 수 있는 시장의 모든 변덕을 피할 수는 없다.

시스템이 정말 결함이 있다고 느끼고 조정하고 싶다면, 수정된 버전이 지난 몇 주뿐 아니라 충분히 긴 백테스트 기간 전체에 걸쳐 기존 시스템보다 성능이 우수한지 반드시 백테스트해야 한다.

트레이더들에게 경제학자들보다 더 잘 알려진 두 가지 주요 심리적 약점이 있다: **절망(despair)**과 탐욕(greed).

절망은 트레이딩 모델이 장기간의 주요 낙폭 중에 있을 때 발생한다. 많은 트레이더들(과 그들의 매니저, 투자자 등)은 이 상황에서 모델을 완전히 종료하라는 큰 압박을 받는다. 반면 무모한 성향의 지나치게 자신감 있는 트레이더들은 정반대로 행동할 것이다: 결국 모델이 반등하면 손실을 만회하기를 기대하며 손실 중인 모델에 베팅을 두 배로 늘린다. 어느 행동도 합리적이지 않다: 켈리 공식으로 자본 배분과 레버리지를 관리해 왔다면, 손실 중인 모델의 자본 배분을 점진적으로 낮춰야 한다.

탐욕은 모델이 좋은 성과를 내며 많은 이익을 창출할 때 더 흔히 나타나는 감정이다. 이때의 유혹은 빨리 부자가 되기 위해 레버리지를 빠르게 늘리는 것이다. 자기 규율이 잘 된 퀀트 트레이더는 켈리 공식의 지시와 팻 테일 이벤트 가능성이 부과하는 주의 모두 아래로 레버리지를 유지할 것이다.

절망과 탐욕은 모두 과도한 레버리지(overleveraging) — 지나치게 큰 포트폴리오로 거래하는 것 — 으로 이어질 수 있다: 절망에서는 신규 자본을 추가해 손실을 만회하려 하고, 탐욕에서는 초기 성공 후 너무 빠르게 자본을 추가한다. 따라서 리스크 관리의 황금 법칙은 항상 포트폴리오 규모를 통제 하에 두는 것이다. 하지만 말처럼 쉽지 않다. 크고 유명한 펀드들도 과도한 레버리지의 유혹에 넘어졌다: 2000년의 Long-Term Capital Management(LTCM)(Lowenstein, 2000)와 2006년의 Amaranth Advisors가 그 예다. Amaranth Advisors의 경우, 한 명의 트레이더(Brian Hunter)가 단 하나의 전략(천연가스 캘린더 스프레드 거래)에 사용한 레버리지가 너무 커서 60억 달러의 손실이 발생해 펀드의 자기자본이 완전히 소진됐다 — 리스크 관리 실패의 교과서적 사례다.

저자는 이 압박을 기관 환경과 개인 환경 모두에서 직접 경험했으며, 두 번 모두 불행히도 조기에 굴복하고 말았다. 자산 운용사에 있을 때, 탐욕에 사로잡혀 겨우 6개월 동안 거래한 전략에 기반한 포트폴리오에 1억 달러 이상을 추가했고 결국 펀드 투자자들에게 100만 달러 이상의 손실을 입혔다. (그때는 켈리 기준을 배우기 전이었다.) 이것으로 충분한 교훈이 되지 않았는지, 독립적으로 트레이딩을 시작했을 때도 같은 실수를 반복했다. 에너지 ETF인 XLE와 원유 선물(CL)을 포함한 평균 회귀 스프레드 전략이 문제였다. 스프레드가 시간이 지나도 평균 회귀를 거부하자 고집스럽게 스프레드 규모를 거의 50만 달러까지 늘렸다. 결국 절망이 찾아왔고, 여섯 자리 손실에 가까운 상태로 스프레드를 청산했다. 당연히 스프레드는 저자가 혜택을 받을 수 없게 됐을 때 되돌아오기 시작했다. (다행히 그 독립 트레이딩 첫 해에 다른 여러 전략들이 좋은 성과를 내서, 회계연도는 작은 전체 손실로만 마무리됐다.)

어떻게 이런 심리적 약점을 극복하고, 모델을 수동으로 무시하지 않으며, 트레이딩 오류를 정확하고 신속하게 수정하도록 훈련할 수 있을까? 대부분의 인간적 노력과 마찬가지로, 작은 포트폴리오로 시작해 심리적 준비성, 규율, 그리고 모델에 대한 자신감을 점진적으로 키우는 것이다. 일일 손익(P&L)의 변동을 감정적으로 더 잘 다룰 수 있게 되고 심리의 원시적 충동을 억제하게 되면, 포트폴리오의 실제 성과가 전략의 이론적 기대 성과에 근접하게 된다.

저자도 앞서 언급한 재앙적 거래들을 극복한 후 그렇게 됨을 확인했다. 새롭게 얻은 규율과 켈리 공식에 대한 믿음이 지금까지 유사한 재앙이 재발하지 않도록 막아주고 있다.

요약

리스크 관리는 트레이딩의 핵심 규율이다. 트레이딩 세계는 단 한 번의 거래 또는 매우 짧은 기간 내 엄청난 손실로 몰락한 거대 헤지펀드와 투자은행의 수많은 사례로 가득하다. 이런 손실의 대부분은 본질적으로 결함 있는 모델이 아니라 포지션의 과도한 레버리지 때문이다. 일반적으로 트레이더들은 성과가 좋지 않은 모델을 과도하게 레버리지하지 않는다. 오히려 지금까지 뛰어난 성과를 낸 모델이 자신감 과잉과 과도한 레버리지로 인해 큰 손실을 볼 위험이 가장 크다.

이 챕터는 리스크 관리의 중요한 도구를 제공한다: 켈리 공식을 사용한 최적 레버리지 결정.

최적 레버리지 결정 외에, 켈리 공식에는 매우 유용한 부가 기능이 있다: 수익률의 공분산을 기반으로 여러 전략 간 자본의 최적 배분도 결정한다.

하지만 트레이딩의 오르내림에 심리적으로 준비되어 있지 않고 이성적 의사결정의 처방(즉, 자신의 모델)에서 벗어난다면 어떤 리스크 관리 공식이나 시스템도 재앙을 막지 못할 것이다. 궁극적인 리스크 관리 마인드셋은 매우 단순하다: 절망이나 탐욕에 굴복하지 말라.

이 심리적 규율을 연습하기 위해서는, 작은 포지션 규모로 천천히 진행하며 켈리 공식에 따라 규모를 키우기 전에 트레이딩 비즈니스의 다양한 측면(모델, 소프트웨어, 운영 절차, 자금 및 리스크 관리)을 철저히 테스트해야 한다.

천천히 신중하게 진행하기 위해서는 다른 수입원이나 다른 비즈니스를 갖는 것이 도움이 된다 — 재정적으로나 감정적으로(느린 진행에 따른 지루함을 피하기 위해) 자신을 유지할 수 있게 도와주기 때문이다. 수입을 창출하든 그렇지 않든 다른 활동을 찾는 것이 실제로 장기적인 부의 성장을 향상시킬 수 있다.

부록: 수익률 분포가 가우시안일 때 켈리 공식의 간단한 유도

전략(또는 증권)의 수익률 분포가 가우시안이라고 가정하면, 켈리 공식은 매우 쉽게 유도된다. 가우시안 프로세스에 적용 가능한 복리, 레버리지 성장률 공식으로 시작한다:

$$g(f) = r + fm - s^2f^2/2$$

여기서 $f$는 레버리지, $r$은 무위험 금리, $m$은 전략의 평균 초과 수익률, $s$는 수익률의 표준편차다. $g(f)$를 최대화하는 $f$를 구하기 위해 $f$에 대해 미분한 후 0으로 설정한다:

$$\frac{dg}{df} = m - s^2 f = 0$$

$$f^* = m / s^2$$

이것이 바로 켈리 공식이다 — 단일 전략의 경우. 위험 단위당 수익률이 높을수록 최적 레버리지는 높아지고, 변동성이 클수록 최적 레버리지는 낮아진다.